Besaran Vektor

A.   PENGENALAN BESARAN VEKTOR

Besaran vektor adalah besaran yang mempunyai nilai (besar) dan arah.

1.     NOTASI VEKTOR

Sebuah vektor digambarkan oleh sebuah anak panah. Panjang anak panah mewakili besar atau nilai vektor, sedangkan arah anak panah mewakili arah vektor. Notasi atau simbol sebuah vektor dapat menggunakan satu atau dua huruf dengan tanda panah di atasnya. Akan tetapi, dalam laporan ini, vektor digambarkan oleh sebuah huruf yang dicetak tebal dan miring, misalnya A atau B. Gambar 1. menunjukkan gambar beberapa vektor dengan notasinya. 

Gambar 1. Beberapa contoh gambar dan notasi vektor.

Titik A disebut titik pangkal vektor dan titik B disebut ujung vektor. Besar sebuah vektor dapat ditulis dengan beberapa cara, di antaranya

1.      Dengan memberi tanda mutlak (||) atau dicetak miring tanpa ditebalkan.
Sebagai contoh, besar vektor A ditulis |A|atau A dan besar vektor B ditulis |B|atau B. Arah sebuah vektor dinyatakan oleh sudut tertentu terhadap arah acuan tertentu. Umumnya, sudut yang menyatakan arah sebuah vektor dinyatakan terhadap sumbu-x positif. Gambar 2. memperlihatkan tiga buah vektor A, B, dan C dengan arah masing-masing membentuk sudut 45°, 90°, dan 225° terhadap sumbu-x positif.

Gambar 2. Arah vektor dinyatakan oleh sudut yang dibentuknya terhadap sumbu positif.

3.  PENGURAIAN VEKTOR

Perhatikan vektor P pada gambar  dibawah !

Arah vektor P adalah ke kanan atas, vektor ini dapat diuraikan menjadi dua komponen yaitu (Px) ke kanan dan (Py) ke atas seperti pada gambar.

Contoh :

Sebuah vektor P mempunyai besar 200 satuan  dengan arah membentuk sudut 30 ˚ dengan sumbu X positif. Berapakah besar komponen vektor diatas pada sumbu X dan pada sumbu Y ?

            Diketahui  :     P = 200 satauan

                                    α = 30˚

            Diatanya    :     Px  ..... ?

                                    Py .....  ?

            a.         Px = P Cos α                                       b.         Py = P Sin α

                        Px = 200 Cos 30˚                                            Py = 200 Sin 30˚

                        Px = 200 . 0,5√3                                             Py = 200 . 0,5

                        Px = 100 √3 satuan                                         Py = 100 satuan

B. OPERASI VEKTOR

Dalam penggunaan Vektor, dua buah vektor atau lebih dapat dijumlah, dikurang, dikalikan atau dibagi. Kegiatan ini disebut Operasi vektor.

1.     PENJUMLAHAN VEKTOR SECARA GEOMETRI

1.       Metode Poligon

Penggabungan vektor secara poligon dilakukan dengan cara menggambar vektor-vektor yang digabungkan tersebut secara berurutan (diteruskan). Kemudian Vektor resultannya (R) digambar dengan menghubungkan titik awal sampai akhir. (seperti pada gambar)

2.       Metode Jajaran genjang

Penggabungan vektor secara jajaran genjang dibuat dengan cara menggambar vektor-vektor yang akan digabungkan dari titik awal yang sama, kemudian buatlah garis sejajar vektor tadi (garis putus-putus) dari kedua ujung vektor yang digabungkan sehingga diperoleh titik potongnya. Terakhir gambarlah Vektor Resultannya dengan menghubungkan titik awal ke titik potong. (seperti pda gambar) 

 

2.      PENJUMLAHAN VEKTOR DENGAN METODE ANALITIK (DUA DIMENSI)

1.       Jika arahnya sama

Resultan vektor yang arahnya sama dihitung dengan menjumlahkan besar dari kedua vektor yang digabungkan.

  R  = V₁  +  V₂

2.      Jika arahnya berlawanan

Resultan vektor yang arahnya sama dihitung dengan mengurangkan besar dari kedua vektor yang digabungkan (dihitung selisihnya).

                        R  = V₁  -  V₂

3.      Jika saling mengapit sudut

Resultan dari vektor yang arahnya tidak sama dan tidak berlawanan atau arahnya saling mengapit sudut dihitung dengan menggunakan rumus sbb :

Contoh Soal :

1. Vektor F_a dan F_b berturut-turut 30 N dan 50 N. Berapa resultan kedua vektor tersebut jika :

a.       kedua vektor searah !

b.      kedua vektor berlawanan arah !

c.       kedua vektor saling mengapit sudut 60° !

Diketahui :                  F_a = 30 N

                                    F_b = 50 N

Ditanyakan :    a) R = ................. ? (searah)

                        b) R = ................. ? (berlawanan arah)

                        c) R = ................. ?  α = 60°

a)      R = F_a  +  F_b                                        b) R = F_a  -  F_b

R = 30  +  50                                            R = 30  -  50          

R =  80 N                                                 R = - 20 N

                                                                (tanda – menyatakan arah R sama dengan Fb)

 2.        Vektor V = 400 N dengan arah 30°  terhadap arah horizontal.

      Tentukan  komponen vektor diatas pada sumbu X dan sumbu Y !

      Diketahui :      V = 400 N

      Ditanyakan :    V_x = .................. ?

                               V_y = .................  ?

                        V_x  =  V Cos α                                                            V_y  =  V Sin α

                        V_x  =  400 Cos 30°                                          V_y  =  400 Sin 30°

                        V_x  =  400 0,87                                                V_y =  400 0,5

                        V_x  =  348 N                                                    V_y  =  200 N

  

3. Vektor P, Q dan S berturut-turut  200 N, 300 N dan 400 N dan arahnya 30° , 150° dan 210°  . Tentukan resultan dari ketiga vektor !

Diketahui :      P = 200 N

                        Q = 300 N

                        S = 400 N

Ditanyakan :    R = .................... ?

Untuk menghitung Resultan vektor yang lebih dari 2 vektor lebih mudah menggunakan tabel seperti dibawah : 

 

3. PENJUMLAHAN VEKTOR BERDASARKAN KOMPONEN
   VEKTOR SATUAN

Menjumlahkan sejumlah vektor dapat dilakukan dengan menguraikan setiap vektor menjadi komponen-komponennya ke sumbu-x dan sumbu-y pada koordinat kartesius. Metode seperti ini disebut metode uraian.

Berikut adalah tahapan-tahapan untuk mencari besar dan arah vektor resultan dengan metode uraian.

a. Buat koordinat kartesius x-y.

b. Letakkan titik tangkap semua vektor pada titik asal (0,0). Hati-hati, arah vektor tidak boleh berubah.

c. Uraikan setiap vektor, yang tidak berimpit dengan sumbu-x atau sumbu-y, menjadi komponen-komponennya pada sumbu-x dan sumbu-y.

d. Tentukanlah resultan vektor-vektor komponen pada setiap sumbu,

misalnya :

x Σ_R = resultan vektor-vektor komponen pada sumbu-x.

y Σ_R = resultan vektor-vektor komponen pada sumbu-y.

e. Besar vektor resultannya : (1-10)

dan arahnya terhadap sumbu-x positif :  (1-11)

Contoh Soal :

1.      Tiga buah vektor gaya masing-masing besarnya F1 = 10 N, F2 = 30 N, dan F3 = 20 N. Arah ketiga vektor tersebut ditunjukkan pada gambar. Tentukanlah resultan ketiga vektor tersebut (besar dan arahnya).

Penyelesaian :

Diketahui: F1 = 10 N, F2 = 30 N, dan F3 = 20 N.

Uraian setiap vektor pada sumbu-x dan sumbu-y, seperti diperlihatkan pada gambar berikut ini.

Besar komponen-komponen setiap vektornya adalah:

F_1x = F₁ cos 37° = 10 N × 0,8 = 8 N

F_1y = F₁ sin 37° = 10 N × 0,6 = 6 N

F_2x = F₂ cos 53° = 30 N × 0,6 = 18 N

F_2x = F₂ sin 53° = 30 N × 0,8 = 24 N

F_3x = F₃ sin 37° = 20 N × 0,6 = 12 N

F_3x = F₃ cos 37° = 20 N × 0,8 = 16 N

Resultan pada sumbu-x dan sumbu-y masing-masing:

ΣR_x = F_1x – F_2x – F^3x = 8 – 18 – 12 = –22 N

ΣR_y = F_1y – F_2y – F_3y = 6 + 24 – 12 = 18 N